Connection between stereometry and planimetry in pre-Euclidean geometry and its application in cartography

Pápay, Gyula

doi:10.48711/20241203-000

published

Connection between stereometry and planimetry in pre-Euclidean geometry and its application in cartography

English
German

The method of the transformed great circle makes it possible to transform the small circles parallel to the great circle of the sphere, i.e. to transform the circles of latitude into straight lines of equal length. This method was not explicitly described by Ptolemy. However, it can be proven that he used this method in the construction of his map projections. As this method does not appear in Euclidean geometry, it has been assumed that it is a much older, pre-Euclidean method. There are no sources for this assumption. One indication of this, however, is that with the method of the transformed great circle, the division of the circle into 360 degrees is only possible geometrically, i.e. only with linear and compass. A further indication of this is the assumption that the planimetric unit circle emerged from the transformed great circle. Certain trigonometric functions in the transformed great circle have a concrete relationship to the sphere, which has been lost in Euclidean geometry through abstraction. The approximate geometric determination of π was also still possible with this original method. In antiquity, the transformed great circle was only used in Ptolemy's cartographic theory of projection. Mercator reduced the transformed great circle to a planimetric unit circle while retaining its geometric properties. This meant that he was able to create his map projection of 1569, which was later calculated using differential calculus, exclusively geometrically.

Die Methode des transformierten Großkreises ermöglicht die Umwandlung der mit dem Großkreis der Kugel parallelen Kleinkreise, d. h. die Breitenkreise in längentreue gerade Linien umzuwandeln. Diese Methode wurde von Ptolemaios nicht explizit beschrieben. Es ist jedoch nachweisbar, dass er diese Methode bei der Konstruktion seiner Kartenprojektionen verwendete. Da diese Methode in der euklidischen Geometrie nicht vorkommt, wurde es angenommen, dass es sich hierbei um eine wesentlich ältere, um eine voreuklidische Methode handelt. Quellen für diese Annahme liegen nicht vor. Ein Indiz dafür ist jedoch, dass mit der Methode des transformierten Großkreises die Einteilung des Kreises in 360 Grad ausschließlich geometrisch, d. h. lediglich mit Linear und Zirkel, möglich ist. Ein weiteres Indiz dafür ist die Annahme, dass der planimetrische Einheitskreis aus dem transformierten Großkreis hervorgegangen ist. Bestimmte trigonometrische Funktionen weisen in dem transformierten Großkreis eine konkrete Beziehung zu der Kugel, die in der euklidischen Geometrie durch Abstraktion verloren gegangen ist. Die annähernde geometrische Bestimmung von π war mit dieser ursprünglichen Methode auch noch möglich. In der Antike fand der transformierte Großkreis lediglich in der kartographischen Projektionslehre von Ptolemäus eine Anwendung. Von Mercator wurde der transformierte Großkreis unter Beibehaltung seiner geometrischen Eigenschaften auf einen planimetrischen Einheitskreis reduziert. So konnte er seine Kartenprojektion von 1569, die später mit Hilfe der Differentialrechnung berechnet wurde, ausschließlich geometrisch erstellen.